Таблица основных производных

Комментарии преподавателя Примеры вычисления производных. Краткое повторение темы предыдущего занятия На предыдущем уроке мы рассмотрели понятие производной и рассмотрели алгоритм нахождения производной. Он предусматривал: дать приращение аргументу, вычислить таблица основных производных функции, вычислить отношениеупростить, проанализировать, устремить к нулю и найти производную. Это было в общем виде, а теперь этот алгоритм рассмотрим на примере конкретных функций. Зафиксируем точку и найдем значение производной от конкретной функции в конкретной точке. Иллюстрируем все это графиком. Зафиксировав точкувычислим значение функции в этой точке. В данном случае приращение положительное. Можно таблица основных производных приращение отрицательное, тогда функция будет либо увеличиваться, либо уменьшаться. Имеем две точки: значение аргумента и значение функции в точкеновое значение аргумента и значение функции при новом значении аргумента. Разность этих значений функции дает. Знаменатель для всех функций один и тот же, - приращение аргумента, а числитель — свой для каждой функции. Далее надо упростить его, сократить на и сделать дальнейший анализ. Упрощать в данном случае можно по-разному. Можно применить формулу или куб суммы, или разность кубов. В данном случае - это- это. Имеем Раскрывая скобки, получили многочлен. Таблица основных производных надо преобразовать так, чтобы сократить. Вынесем за скобки, получим Теперь можно сократить наведьоно не равно нулю. Имеем соотношение следующего вида. Осталось узнать, что происходит, когда. В данном случае второй член выражения пропадет, и третий член пропадет. Останетсято есть. Результатто есть смысл такой: 3 выносим как сомножитель и показатель уменьшили на единицу. Итак, зафиксировали точкунашли производную от конкретной функции в конкретной точке. Точка может быть любая. Итак, мы зафиксировали функцию - кубическую параболу. Была задача: найти производную этой функции в конкретной точке. Мы зафиксировали точку и действовали по алгоритму, который был изложен в общем виде, и применен к данной функции. Этот алгоритм можно применять к любой функции, а именно: вычислить значение функции в точкетаблица основных производных значение в закон таблица основных производных, то есть в функцию, дать приращение аргумента, найти значение функции при новом значении аргумента и получить приращение функции, таблица основных производных есть разность между значениями функции в новой точке и старой. Далее, надо найти разностное отношениеупростить его так, чтобы вынести таблица основных производных скобку и сократить таблица основных производных. В результате получится выражение, члены которого зависят от и не зависят от него. Если члены, которые зависят от прямо пропорциональны ему, то они при стремятся к нулю, то есть пропадают. Остаются только члены, которые не зависят от. Таким образом получим значение производной. Для знакомых с пределами. Важно понять, что есть члены с члены и члены без. При этом члены с пропадают, остается то, что называется производной. Итак, производная от кубической функции в любой точке - это. Типовые задачи Возьмем таблица основных производных пример. Дано: Найти:то есть конкретное значение функции в точке. Физический и геометрический смысл решения задачи. В моментесли двигаться уезжать от дома по законускорость равна 12. Если к этой кривой мы проведем касательную в точкето эта касательная имеет угол наклона см. Это говорит о таблица основных производных, что угол довольно большой, так как растет быстро от дома мы уезжаем довольно быстро. Более того, чем дальше, тем быстрее скорость. Физический и геометрический смысл решения задачи. Итог урока Итак, рассмотрено подробное применение общего алгоритма нахождения производной таблица основных производных конкретной функции. Детализировано подробно каждое действие, решили одну из типовых задач, а именно, как находить значение производной функции в конкретной точке. Для этого нужно найти значение функции в произвольной точке, а потом найти значение производной в конкретной точке. Диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние функ­ций «с нуля», т. По­это­му ма­те­ма­ти­ки вы­чис­ли­ли про­из­вод­ные эле­мен­тар­ных функ­ций. По­лу­чи­лась таб­ли­ца про­из­вод­ных, где всё уже го­то­во. Про­из­вод­ные неко­то­рых эле­мен­тар­ных функ­ций: 1. Дано: До­ка­зать: До­ка­за­тель­ство Изоб­ра­зим гра­фик функ­ции: см. За­фик­си­ру­ем точку и при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та. По­лу­ча­ем новое зна­че­ние ар­гу­мен­та и, со­от­вет­ствен­но, новое зна­че­ние функ­ции. То таблица основных производных при пе­ре­хо­де от зна­че­ния ар­гу­мен­та к зна­че­ния функ­ции из­ме­ня­ют­ся со­от­вет­ствен­но от до. Зна­че­ние функ­ции в таблица основных производных точке равно. По­лу­чи­ли пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник вы­де­лен крас­ным цве­томка­те­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся два при­ра­ще­ния — при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та и при­ра­ще­ние функ­ции — раз­ность между зна­че­ни­ем функ­ции в новой точке и зна­че­ни­ем функ­ции в ста­рой точке. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству Най­дём от­но­ше­ние : Умно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на вы­ра­же­ние : В чис­ли­те­ле по­лу­чи­ли таблица основных производных раз­но­сти квад­ра­тов: Сле­до­ва­тель­но: Про­ана­ли­зи­ру­ем дан­ное вы­ра­же­ние при : — про­из­воль­ное до­пу­сти­мое число, по­это­му: Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Дано: Найти: Ре­ше­ние 1. Най­дём про­из­вод­ную в любой точке : 2. Най­дём про­из­вод­ную в за­дан­ной точке: Как из­вест­но, это зна­че­ние яв­ля­ет­ся тан­ген­сом угла на­кло­на ка­са­тель­ной к кри­войпро­ве­дён­ной в точке с абс­цис­сой 4 см. Ил­лю­стра­ция к за­да­че Ответ: Дано: До­ка­зать: До­ка­за­тель­ство На ри­сун­ке 3 по­ка­за­но, каким об­ра­зом ведёт себя функ­ция. За­фик­си­ру­ем точку и при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та. По­лу­ча­ем новое зна­че­ние ар­гу­мен­та новую точку. При пе­ре­хо­де от зна­че­ния ар­гу­мен­та к зна­че­ния функ­ции из­ме­ня­ют­ся со­от­вет­ствен­но от до. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству Най­дём от­но­ше­ние : Для упро­ще­ния этого вы­ра­же­ния ис­поль­зу­ем фор­му­лу раз­но­сти си­ну­сов: При : Объ­яс­ним это, рас­смот­рев три­го­но­мет­ри­че­ский круг с ра­ди­у­сом 1 и угол, рав­ный см. Нам необ­хо­ди­мо найти длину дуги и длину хорды. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству Длина дуги равна про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са на цен­траль­ный угол: Ра­ди­ус равен 1, по­это­му длина дуги чис­лен­но равна цен­траль­но­му углу, ко­то­рый равен. Сле­до­ва­тель­но: Хорда со­сто­ит из двух ка­те­тов тре­уголь­ни­ков ико­то­рые равны про­из­ве­де­нию ги­по­те­ну­зы еди­ни­ца, так как это ра­ди­ус на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го таблица основных производных. Сле­до­ва­тель­но: При длина дуги стре­мит­ся к длине хорды: То есть при ма­лень­ком угле дуга и хорда по длине нераз­ли­чи­мы. Таким об­ра­зом, до­мно­жив вы­ра­же­ние на 2, по­лу­ча­ем вы­ра­же­ниеко­то­рое есть от­но­ше­ние длины хорды к длине дуги: Но так както: Сле­до­ва­тель­но, при : По­это­му: Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Дано: Найти: Ре­ше­ние 1. Най­дём про­из­вод­ную в любой точке : 2. Най­дём про­из­вод­ную в за­дан­ной точке: Ответ:. Дано: Найти: тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной к кри­вой таблица основных производных точ­ках: а ; таблица основных производных ; в Ре­ше­ние На ри­сун­ке 5 по­ка­за­на ил­лю­стра­ция к за­да­че. Изоб­ра­же­на си­ну­со­и­да, к точке кри­вой с абс­цис­сой про­ве­де­на ка­са­тель­ная, ко­то­рая об­ра­зу­ет угол с осью. Тан­генс дан­но­го угла необ­хо­ди­мо таблица основных производных. Также необ­хо­ди­мо найти тан­генс угла, ко­то­рый об­ра­зо­вы­ва­ет­ся при пе­ре­се­че­нии оси абс­цисс с ка­са­тель­ной, про­ве­дён­ной к точке кри­вой с абс­цис­сой 0 и. Ил­лю­стра­ция к за­да­че Так таблица основных производныхто: а Для точки тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной будет равен: б Для точки тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной будет равен: Сле­до­ва­тель­но, пря­маяизоб­ра­жён­ная на ри­сун­ке 5, яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к си­ну­со­и­де в точке 0.

Похожие документы
Карта сайта
Превышение должностных полномочий коап
Мегаспорт саратов каталог товаров
Прошивка ssd kingston v300

Комментарии